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“p-adic理论,你们可以称之为p进数理论,是咱们数论中一个较为重要的基础理论,同时,它和数学中的其他领域也能十分融洽,甚至也可以作为未来你们上研究生之后的一个研究方向。”

说到这,林晓微微一笑:“上一届国际数学家大会中,有位31岁的菲尔兹奖得主叫做彼得·舒尔茨,他就是研究p-adic理论的,他利用一种十分绝妙的方法,将一些十分复杂的几何问题引入到了p-adic理论当中实现了简化,然后解决了不少的问题。”

“比如他通过引入拟完备空间把算术代数几何转换到p进域上,可将局部域上的算术问题简化表示为特定的特征及特征域的组合。”

“利用这个技术,他便成功地将霍奇理论中的近纯定理实现了推广。”

“所以研究这个理论,说不定就有可能让你得到一个菲尔兹奖。”

听到林晓的话,在场的学生们纷纷翻了个白眼。

瞧您说的,就跟只要研究了这个东西就能拿奖似的。

真要有这么容易的话,他们还能坐在这里?

当然,林晓的这一番介绍,还是给了他们这些学生一些兴趣,一位菲尔兹奖大佬都研究的东西,他们研究一下,不是更好?

尤其是林晓还提到了霍奇理论,虽然他们不是都知道霍奇理论,但是作为学数学的,他们都知道霍奇猜想嘛。

嗯,能跟千禧年大奖难题挂上钩的东西,肯定是好东西。

于是这些学生们都露出了认真的表情。

而见到他们的表情,林晓微微一笑,引起了兴趣,这就方便他之后的讲课了,于是他不再多说,开始了关于p-adic理论的正式讲述。

“p进数是有理数域拓展成的完备数域的一种。这种拓展与常见的有理数域到实数域的数系拓展不同,其具体在于所定义的“距离”概念,我们一般用qp来表示……”

课堂开始,在场的学生们也都开始了认真地思考。

尽管在场的学生们基本都在之前做过了预习,但是对于学习数学的学生来说,那种哪怕看书也看不懂的知识,也算是十分的常见。

而这个p-adic理论,当然也使得不少学生感到了比较难以理解。

毕竟相比起他们以前所学习的那些数论中的经典定理等,p-adic理论这种连名字都稍微有些奇怪的理论,他们想要理解这个玩意儿,也仍然有些困难。

当然,这时候就要轮到老师来起作用了。

随着林晓的详细讲述,这些数学中的尖子生们,也逐渐能够理解了起来。

于是就这样,这节课的前30分钟,林晓引领着这些学生们理解了什么是p-adic理论。

“现在,各位同学应该基本理解了什么是p进数。”

“p进数主要有两个性质。”

“第一个,是代数性质。”

“在代数上,qp是zp的分式域,跟准确地说,qp=zp[1/p]……”

“大家要记住,在咱们数论的领域中,p进数的代数性质是比较重要的,大家回去之后要好好学习一下这方面的知识,巩固一下,考试是会考的哦~”

说到这,林晓微微一笑。

而见到他的这个笑容,在场的学生们纷纷哆嗦了一下,连忙拿起笔,将这一点记了下来。

在场的学生谁不知道,只要说到考试可能要考的地方,林神一笑,他们可就生死难料了。

因为这意味着林晓往往会在这方面出上一道压轴题,虽然说难度不会有之前那道题那么难,但是得分率肯定也不会高。

而看着他们记笔记,林晓笑呵呵的安慰道:“大家别紧张嘛,毕竟我又不是什么魔鬼。”

然而在座的每一位同学信都不信,纷纷翻了个白眼,然后在这个地方又多加了一个重点标记,顺便写上“非常重要”四个字,免得之后复习时给忽略了。

而见到没人相信自己,林晓耸耸肩,继续讲起了课:“那么就是第二个性质,也就是拓扑性质,拓扑性质的话,倒不是重点,我之前也说过,学习我们如今的数学,专精一个方向其实是最好的,你们如果有兴趣往拓扑方面发展一下的话,可以研究研究,不过现在的话,我就简单讲讲就行。”

“p-adic的拓扑性质,主要表现为在qp上的范数,|·|p是一个超度量的范数。它不仅满足三角不等式,而且满足更强的关系……”

“这说明,如果将qp想象成一个几何空间,那么其中的三角形的一边长度总小于等于另外两边中较长者,也就是说所有的三角形都是锐角等腰三角形。这与实际中的欧式几何空间完全不同。由此qp和r具有截然不同的拓扑性质……嗯?”

说到这里的时候,林晓的眉头忽然皱了一下,停止了自己的讲述。

而在场的学生们听到林晓“嗯?”了一声就不说话了,便都感到了疑惑。

这是怎么了?

不过,林晓迟疑了片刻之后,又继续讲述起来:“qp上的拓扑是完全不连通的豪斯多夫空间,同时,qp是由q完备化而得,因此q在qp中稠密,不仅如此,任意给定……嗯?”

刚说到这里,林晓忽然又停了下来,抬头看着ppt上面他列出的一些陈述p进数拓扑性质的数学式,一只手扶住下巴,陷入了沉思的状态中。

而这就更让在场的学生们好奇了。

林晓这是想到啥了?

“你们说,林神不会又顿悟了吧?”

底下,一名学生小声说道。

其他人便都若有所思地点点头:“好像是的吧……”

毕竟,林晓的顿悟,可是全球都出名了的。

“这又是要顿悟啥了啊……”

“说不定是霍奇猜想呢?林神上课前不是就说这个p-adic理论和霍奇理论有关系嘛。”

“霍奇猜想虽然和霍奇理论有关系,但是霍奇理论包括的内容更大吧?我记得霍奇理论主要讲的是一种利用偏微分方程研究光滑流形m的上同调群的方法,霍奇猜想只是包括在里面吧?”

“狗子,你连这都知道?别卷啦别卷啦~”

……

正当底下学生们都看着林晓那盯着ppt思考的模样时,林晓终于回过了神。

想起自己此时还在上课,他便回过了神,歉意道:“不好意思,刚才想起了其他事情。”

“咱们继续。”

随后,他便加速地讲起了课,当然,其实讲到这里他也基本快完了,很快地把拓扑结构讲完,然后按照惯例给他们出了一道题,让他们自己做。

而后,林晓便坐在办公桌上,找出了纸和笔,开始计算起来。

他刚才为什么停顿了两下,便是因为他在这个p-adic理论上,看到了能够帮助他解决当前所面临的霍奇猜想中的一个问题。

“通过引入拟完备空间把算术代数几何转换到p进域上,并应用于伽罗瓦表示,完全可以用来开发一个新的上同调理论……”

“而且完全可以是motive上同调!”

林晓在纸上写下了数个看起来十分复杂的式子,然后开始尝试着往上同调方向靠去。

但是片刻后,他眉头再次一皱。

“如何证明有一类有限非分歧伽罗瓦扩张l/kp,其环为o`,剩余域为k`,对其分别存在a`∈h1(e*o′,z/2(1))?”

“不解决这个问题的话,在伽罗瓦表示的过程上,将存在一定的问题……”

思考片刻后,他索性直接登录了自己的邮箱,然后将他的思路附在上面,然后发给了彼得·舒尔茨。

他当然有彼得·舒尔茨的联系方式。

不过,因为他用的是多媒体上面的电脑,而投影直接投到了黑板的屏幕上面,于是在场的学生们全都看见了。

当看见林晓将他的思路附上去后,在场的学生们都是茫然的。

这是啥玩意儿?

他们除了开头认识一个p-adic,之后就啥都不认识了,而且林晓因为是发给彼得·舒尔茨的,所以他这封邮件也是全英文的,这就更让在场的学生们感到迷茫了。

原来这就是数学顶级大牛平常研究的东西吗?

然而这还没完,当最后,他们看到林晓附上了彼得·舒尔茨的名字时,就更加惊呆了,林晓这封邮件,居然是发给一位菲尔兹奖得主的?

什么叫人脉?这特么的就叫人脉!

而这些,暂时和他们都没有关系,他们只能低下头,继续苦逼地做起了他们的题。

就这样,时间很快的过去了。

下课铃声响起,十分钟之后,上课铃声再度响起,林晓继续讲课。

很快这节课差不多快结束的时候,林晓留给了学生们一段自习的时间,而他则继续进入了邮箱中,惊讶地发现,彼得·舒尔茨居然这么快就回复了。

打开邮件,彼得·舒尔茨是直接发了一封附件过来,他下载了附件之后,便看了起来。

【林教授,你好!很高兴收到你的来信,没想到你对我当初的研究也会产生兴趣,我看完了你的信,想来你现在研究的应该是霍奇猜想吧?

关于你的问题,如何证明这个关于伽罗瓦表示的问题,在最近我研究霍奇理论的时候,恰好有所研究。

首先注意,可以把a`∈h1(e*o′,z/2(1))设为h1et(e,z/2)的类,由于其在剩余域中是可逆的,这个群将e上的z/2参数化……

br(s′)[2]→br(s′kp)[2]=z/2,到这里,我们需要继续将其归类为p进域中,然后用数论的方法将其解决,相信在这个问题上,没有比林教授你更多的了。

其实在研究霍奇理论的过程中,我对霍奇猜想也有过思考,不知道你有没有看过2016年罗森松·安德烈亚斯的那篇论文,那里面对如何获得正确的积分霍奇猜想,做出了推测,我推荐你去看看,总而言之,上同调和霍奇猜想紧密相连,或许motive,就是解决霍奇猜想最关键的因素!

……】

看完了这篇回信,彼得·舒尔茨基本上没有任何藏私,并且给予了林晓很大的启发。

还有舒尔茨推荐的那篇论文,林晓自然是看过的。

而现在,他已经有了真正解决霍奇猜想的底气了。

至少,是对霍奇猜想的重要阶段性成果。

想到这,他长出一口,然后嘴角一翘。

或许,去国际数学家大会的时候,可以换一个报告主题了?

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